۱. درسنامه و مفاهیم پایه
تعریف مجموعه: در زبان ریاضی، به دستهای از اشیاء که کاملاً مشخص و غیرتکراری باشند، «مجموعه» میگوییم. هر یک از این اشیاء (عدد، حروف، شکل و...) یک عضو مجموعه نامیده میشوند.
دو شرط اساسی برای تشکیل مجموعه:
- ۱. کاملاً مشخص بودن: یعنی دقیقاً معلوم باشد چه چیزی عضو مجموعه است و چه چیزی نیست. عبارتهایی که سلیقهای هستند یا معیار دقیقی ندارند (مثل: زیباترین، باهوشترین، تعدادی از، چند تا از، بزرگترین و...) مجموعه تشکیل نمیدهند.
- ۲. غیرتکراری بودن: در مجموعه عضو تکراری نداریم. اگر عضوی چند بار نوشته شود، فقط یکبار شمرده میشود و نوشتن تکراری آن تأثیری در مجموعه ندارد.
• مجموعهها را با حروف بزرگ انگلیسی (مانند A, B, C) نامگذاری میکنیم.
• اعضا را داخل دو آکولاد { } قرار میدهیم و با ویرگول از هم جدا میکنیم.
• ترتیب مهم نیست: جابهجا نوشتن اعضا، مجموعه را تغییر نمیدهد (مجموعه {۱, ۲} با {۲, ۱} برابر است).
• عضویت: اگر عدد x در مجموعه A باشد، مینویسیم: x ∈ A (میخوانیم: ایکس عضو آ است).
• عدم عضویت: اگر عدد y در مجموعه A نباشد، مینویسیم: y ∉ A (میخوانیم: ایگرگ عضو آ نیست).
• مجموعه تُهی: مجموعهای که هیچ عضوی نداشته باشد، «مجموعه تهی» نامیده میشود و با نماد ∅ یا { } نشان داده میشود.
۲. مثالهای آموزشی (۵ مثال)
مثال ۱ (تشخیص مجموعه - صفتهای کیفی):
آیا عبارت «چهار میوه خوشمزه» یک مجموعه را مشخص میکند؟
تحلیل: خیر. واژه «خوشمزه» سلیقهای است. ممکن است یک میوه برای فردی خوشمزه و برای دیگری بدمزه باشد. پس چون اعضا کاملاً مشخص نیستند، مجموعه نیست.
مثال ۲ (تشخیص مجموعه - اعداد):
آیا عبارت «اعداد طبیعی کمتر از ۵» یک مجموعه است؟
تحلیل: بله. این اعداد دقیقاً مشخص هستند: ۱، ۲، ۳ و ۴. هیچ شکی در مورد آنها وجود ندارد.
مثال ۳ (حذف تکراریها):
مجموعه حروف کلمه «گرگان» را بنویسید.
تحلیل: حروف تشکیلدهنده عبارتند از: «گ»، «ر»، «گ»، «ا»، «ن».
چون حرف «گ» دو بار تکرار شده، یکبار آن را مینویسیم.
پاسخ: { گ, ر, ا, ن }
مثال ۴ (مجموعه تهی):
مجموعه اعداد طبیعی بین ۵ و ۶ را بنویسید.
تحلیل: بین دو عدد ۵ و ۶ هیچ عدد طبیعی وجود ندارد. پس این مجموعه هیچ عضوی ندارد.
پاسخ: ∅ یا { }
مثال ۵ (مجموعه تکعضوی):
مجموعه اعداد اول زوج را مشخص کنید.
تحلیل: تنها عددی که هم زوج باشد و هم اول، عدد ۲ است.
پاسخ: {۲} (دقت کنید که این مجموعه تهی نیست، بلکه یک عضو دارد).
۳. نمونه سؤالات تشریحی (حل شده گامبهگام)
سؤال ۱:
مجموعه A شامل شمارندههای طبیعی عدد ۱۲ است. این مجموعه را با اعضا بنویسید و تعداد اعضای آن را مشخص کنید.
پاسخ گامبهگام:
۱. شمارندههای ۱۲ اعدادی هستند که ۱۲ بر آنها بخشپذیر است.
۲. این اعداد عبارتند از: ۱، ۲، ۳، ۴، ۶، ۱۲.
۳. نوشتن مجموعه: A = {۱, ۲, ۳, ۴, ۶, ۱۲}
۴. تعداد اعضا: با شمارش اعضا متوجه میشویم این مجموعه ۶ عضو دارد (n(A)=۶).
سؤال ۲ (همان مثال ۳ مورد نظر):
مجموعه اعداد صحیح بین ۳- و ۱+ را بنویسید.
پاسخ گامبهگام:
۱. کلمه «بین» یعنی خودِ عددهای ۳- و ۱ عضو مجموعه نیستند.
۲. اعداد صحیح شامل اعداد مثبت، منفی و صفر (بدون اعشار) هستند.
۳. اعداد مورد نظر: ۲-، ۱-، ۰.
۴. پاسخ نهایی: {-۲, -۱, ۰}.
سؤال ۳:
با توجه به مجموعه B = {۵, {۵}, ۷, ۸}، درستی یا نادرستی عبارتهای زیر را مشخص کنید.
الف) ۵ ∈ B
ب) {۵} ∈ B
ج) ۷ ∉ B
پاسخ گامبهگام:
بررسی الف: عدد ۵ به عنوان یک عضو مستقل در ابتدای مجموعه آمده است. (درست ✅)
بررسی ب: عبارت {۵} (یعنی یک مجموعه شامل عدد ۵) دقیقاً به همین شکل داخل آکولاد اصلی وجود دارد. (درست ✅)
بررسی ج: عدد ۷ داخل مجموعه هست، پس باید مینوشتیم عضو هست (۷ ∈ B). عبارت گفته عضو نیست. (نادرست ❌)
سؤال ۴:
اگر C = {x, y, x, z, m, m} باشد، تعداد اعضای C چقدر است؟
پاسخ گامبهگام:
۱. ابتدا اعضای تکراری را شناسایی و حذف میکنیم.
۲. x تکراری است ← یک بار نوشته شود.
۳. m تکراری است ← یک بار نوشته شود.
۴. شکل ساده شده مجموعه: C = {x, y, z, m}.
۵. تعداد اعضا برابر با ۴ است.
سؤال ۵:
دو مجموعه A = {۳, x} و B = {۴, y-۱} با هم برابرند. مقادیر x و y را بیابید.
پاسخ گامبهگام:
۱. در مجموعههای برابر، اعضا باید عیناً یکی باشند.
۲. عدد ۳ در مجموعه A است، پس باید در B هم باشد. در B یک عدد ۴ داریم، پس عضو مجهول (y-۱) باید برابر ۳ باشد.
y - ۱ = ۳ ⇒ y = ۴
۳. عدد ۴ در مجموعه B است، پس باید در A هم باشد. پس x باید برابر ۴ باشد.
x = ۴
۴. تمرین (مخصوص دانشآموز - بدون پاسخ)
- ۱) کدامیک از عبارتهای زیر مشخصکننده یک مجموعه است؟
الف) سه عدد فرد متوالی
ب) اعداد اول کوچکتر از ۲۰
ج) شاعران معروف قرن هفتم - ۲) اعضای مجموعه حروف کلمه «MATHEMATICS» را بنویسید (با حذف تکراریها).
- ۳) مجموعه اعداد صحیح که مربع (توان دوم) آنها برابر ۲۵ شود را تشکیل دهید.
- ۴) آیا مجموعه K = { ∅ } یک مجموعه تهی است؟ دلیل خود را بنویسید.
- ۵) مجموعه اعداد طبیعی که همزمان هم زوج باشند و هم فرد را بنویسید و نوع مجموعه را مشخص کنید.
۵. تستهای چهارگزینهای (با پاسخ تشریحی)
تست ۱: کدام گزینه نشاندهندهی یک مجموعه نیست؟
۱) اعداد طبیعی بین ۸ و ۹
۲) اعداد اول یکرقمی
۳) چهار عدد بزرگ
۴) شمارندههای عدد ۶
پاسخ تشریحی: گزینه ۳. گزینههای ۱، ۲ و ۴ کاملاً مشخص هستند (گزینه ۱ مجموعه تهی است که خود یک مجموعه محسوب میشود). اما در گزینه ۳، واژه «بزرگ» معیار مشخصی ندارد و سلیقهای است.
تست ۲: اگر مجموعه A = {۱, {۱}, {۱, ۲}} باشد، این مجموعه چند عضو دارد؟
۱) ۴ عضو
۲) ۲ عضو
۳) ۳ عضو
۴) ۵ عضو
پاسخ تشریحی: گزینه ۳. اعضای این مجموعه با ویرگول از هم جدا شدهاند: ۱. عدد ۱، ۲. مجموعه {۱} (یک عضو مجموعهای)، ۳. مجموعه {۱, ۲} (یک عضو مجموعهای دیگر). پس این مجموعه ۳ عضو متمایز دارد.
تست ۳: کدام گزینه نشاندهندهی مجموعه تهی است؟
۱) مجموعه {۰}
۲) مجموعه عددهای طبیعی بین ۵ و ۶
۳) مجموعه {∅}
۴) کوچکترین عدد صحیح
پاسخ تشریحی: گزینه ۲. بین ۵ و ۶ هیچ عدد طبیعی وجود ندارد، پس این مجموعه عضوی ندارد. گزینه ۱ و ۳ هر کدام یک عضو دارند. گزینه ۴ هم نامشخص است (چون اعداد صحیح از طرف منفی بینهایت هستند) اما تهی نیست.
تست ۴: تعداد زیرمجموعههای مجموعهی تهی چند تاست؟
۱) صفر
۲) یک
۳) دو
۴) بینهایت
پاسخ تشریحی: گزینه ۲. هر مجموعه حداقل یک زیرمجموعه دارد که خودِ مجموعه تهی است. فرمول تعداد زیرمجموعه 2^n است. چون تهی ۰ عضو دارد: 2^0 = ۱.
تست ۵: در مجموعه M = {۲, ۳, {۲, ۳}} کدام رابطه نادرست است؟
۱) ۲ ∈ M
۲) ۳ ∈ M
۳) {۲, ۳} ∈ M
۴) {۲} ∈ M
پاسخ تشریحی: گزینه ۴. عدد ۲ در مجموعه هست (گزینه ۱). عدد ۳ هم هست (گزینه ۲). بسته {۲, ۳} هم هست (گزینه ۳). اما بسته {۲} به تنهایی در مجموعه وجود ندارد (خودِ عدد ۲ هست، اما داخل آکولاد نیست).
۶. تستهای تمرینی (بدون پاسخ - جهت خودآزمایی)
- تست ۶: تعداد اعضای مجموعه A = { ∅, {∅}, {∅, ∅} } کدام است؟
۱) ۱ ۲) ۲ ۳) ۳ ۴) ۴ - تست ۷: کدام عبارت درست است؟
۱) {۱, ۲} ≠ {۲, ۱}
۲) مجموعه «اعداد خیلی کوچک» یک مجموعه تهی است.
۳) ترتیب قرار گرفتن اعضا در مجموعه مهم نیست.
۴) مجموعه {۰} همان مجموعه تهی است. - تست ۸: مجموعه P = {x ∈ ℕ | x < ۱} چند عضو دارد؟
۱) صفر ۲) یک ۳) بینهایت ۴) ده - تست ۹: اگر A = {۱, ۲, ۳, ..., ۱۰} باشد، تعداد اعضای آن چقدر است؟
۱) ۹ ۲) ۱۰ ۳) بینهایت ۴) ۱۱ - تست ۱۰: کدامیک از مجموعههای زیر با مجموعه {a, b, c} برابر است؟
۱) {a, b, c, d}
۲) {a, a, b, c}
۳) {a, b}
۴) {a, c}