جزوه ریاضی

درس دوم: مجموعه‌های برابر و نمایش مجموعه‌ها

۱. درس‌نامه و مفاهیم اولیه

۲. مثال‌های آموزشی (از ساده به سخت)

۳. نمونه سؤالات تشریحی حل‌شده (گام‌به‌گام)

سؤال ۱:

اگر A = {۲, a, ۵} و B = {۲, ۵, ۴} و بدانیم A=B، مقدار a چقدر است؟
حل: در مجموعه‌های برابر، اعضا باید عیناً یکی باشند.
عضو ۲ در هر دو هست. عضو ۵ در هر دو هست.
در مجموعه B عضو ۴ وجود دارد که در A نیست، پس باید a = ۴ باشد.

سؤال ۲:

مجموعه‌ی A = {x ∈ ℤ | x^۲ = ۱} را با اعضا بنویسید.
حل: باید اعدادی صحیح را پیدا کنیم که توان دوم آن‌ها ۱ شود.
۱ × ۱ = ۱
(-۱) × (-۱) = ۱
پاسخ: A = {۱, -۱}

سؤال ۳:

تمام زیرمجموعه‌های مجموعه A = {x ∈ ℕ | ۲x < ۵} را بنویسید.
حل:
مرحله اول (یافتن اعضا): ۲x < ۵ → x < ۲.۵. چون x طبیعی است، پس x می‌تواند ۱ یا ۲ باشد. A = {۱, ۲}.
مرحله دوم (نوشتن زیرمجموعه‌ها): ∅, {۱}, {۲}, {۱, ۲}.

سؤال ۴:

نمایش ریاضی مجموعه A = {۳, ۶, ۹, ۱۲} را بنویسید.
حل:
این اعداد مضرب ۳ هستند: 3k.
محدوده k باید اعداد طبیعی از ۱ تا ۴ باشد.
پاسخ: {۳k | k ∈ ℕ, ۱ ≤ k ≤ ۴}.

سؤال ۵:

اگر تعداد زیرمجموعه‌های یک مجموعه ۶۴ تا باشد، این مجموعه چند عضو دارد؟
حل: فرمول تعداد زیرمجموعه 2ⁿ است. باید ببینیم ۲ به توان چه عددی می‌شود ۶۴.
2⁶ = ۶۴.
پاسخ: این مجموعه ۶ عضو دارد.

سؤال ۶:

مجموعه A = { x/(x+۱) | x ∈ W, x < ۳ } را با اعضا مشخص کنید.
حل:
مقادیر x در اعداد حسابی و کمتر از ۳ هستند: ۰, ۱, ۲.
اگر x=۰ → ۰/۱ = ۰
اگر x=۱ → ۱/۲
اگر x=۲ → ۲/۳
پاسخ: A = {۰, ۱/۲, ۲/۳}.

سؤال ۷:

درستی یا نادرستی عبارت مقابل را بررسی کنید: {۱} ∈ {۱, ۲, ۳}.
حل: علامت ∈ یعنی «عضو بودن». آیا خودِ مجموعه {۱} (به عنوان یک بسته) داخل سمت راست هست؟ خیر. در سمت راست عدد ۱ داریم، نه مجموعه‌ی ۱.
پاسخ: نادرست است. (صحیح آن {۱} ⊆ {۱, ۲, ۳} یا ۱ ∈ {۱, ۲, ۳} است).

سؤال ۸:

اگر A = {a, b, {a}, {a, b}} باشد، آیا {a, b} ⊆ A است؟
حل: برای اینکه زیرمجموعه باشد، باید تک‌تک اعضای سمت چپ، درون سمت راست باشند.
عضو a در A هست؟ بله.
عضو b در A هست؟ بله.
پاسخ: درست است.

سؤال ۹:

دو مجموعه A = {۲x, x+y} و B = {۶, ۱۰} برابرند. اگر x و y اعداد طبیعی باشند، مقادیر آن‌ها را بیابید.
حل: دو حالت ممکن است:
حالت اول: ۲x = ۶ و x+y=۱۰. از اولی x=۳. در دومی ۳+y=۱۰ → y=۷. (قابل قبول)
حالت دوم: ۲x = ۱۰ و x+y=۶. از اولی x=۵. در دومی ۵+y=۶ → y=۱. (قابل قبول)
پاسخ: (x=۳, y=۷) یا (x=۵, y=۱).

سؤال ۱۰:

مجموعه A = {x ∈ ℤ | -۱ ≤ x ≤ ۱} و B = {x^۳ | x ∈ A}. آیا A=B؟
حل:
اعضای A: {-۱, ۰, ۱}.
اعضای B: باید اعضای A را به توان ۳ برسانیم.
(-۱)^۳ = -۱
۰^۳ = ۰
۱^۳ = ۱
پس B = {-۱, ۰, ۱}.
پاسخ: بله، A=B.

۴. تمرین‌های دانش‌آموزی (بدون پاسخ)

• ۱. اعضای مجموعه‌ی A = {x ∈ ℤ | -۳ < x < ۲} را بنویسید.
• ۲. آیا دو مجموعه‌ی A = {۱, √۴, ۳} و B = {۱, ۲, ۳} با هم برابرند؟ چرا؟
• ۳. تمام زیرمجموعه‌های مجموعه M = {a, b, c} را بنویسید.
• ۴. مجموعه C = {2^x | x ∈ ℕ, x ≤ ۴} را با اعضا مشخص کنید.
• ۵. یک مجموعه دارای ۱۶ زیرمجموعه است. اگر ۲ عضو به آن اضافه کنیم، تعداد زیرمجموعه‌هایش چند تا می‌شود؟
• ۶. نمایش ریاضی مجموعه اعداد فرد طبیعی کوچک‌تر از ۱۰ را بنویسید.
• ۷. اگر A = {۱, {۲}, ۳} باشد، آیا عبارت {۲} ⊆ A درست است؟
• ۸. مقادیر x و y را طوری بیابید که {۲, x+۳} = {۵, y}. (دو جواب مختلف بیابید).
• ۹. مجموعه D = {x | x ∈ ℤ, x^۲ = ۹} چند عضو دارد؟
• ۱۰. نمودار ون مجموعه‌ی A = {۱, ۲} که زیرمجموعه‌ی B = {۱, ۲, ۳, ۴} است را رسم کنید.

۵. تست‌های چهارگزینه‌ای حل‌شده

۶. تست‌های تمرینی (بدون پاسخ برای دانش‌آموز)

• ۱. تعداد عضوهای مجموعه A = {x ∈ ℤ | x^۲ = -۱} چقدر است؟
  الف) ۱     ب) ۲     ج) ۰     د) بی‌شمار


• ۲. کدام مجموعه زیر نامتناهی (تعداد اعضا بی‌شمار) است؟
  الف) اعداد طبیعی کمتر از ۱۰۰
  ب) اعداد صحیح بین ۵ و ۶
  ج) اعداد اول یک رقمی
  د) مضارب طبیعی عدد ۵


• ۳. اگر A = {۱, ۲, {۱}} باشد، کدام عبارت نادرست است؟
  الف) {۱} ⊆ A     ب) {۱} ∈ A     ج) ۱ ⊆ A     د) ۱ ∈ A


• ۴. مجموعه P = {x^۲ | x ∈ ℤ, -۱ ≤ x ≤ ۱} چند عضو دارد؟
  الف) ۳     ب) ۲     ج) ۱     د) ۴


• ۵. اگر A ⊆ B باشد، حاصل A ∪ B (اجتماع) کدام است؟
  الف) A     ب) B     ج) ∅     د) B-A


• ۶. با ارقام مجموعه {۱, ۲, ۳} چند عدد دو رقمی (بدون تکرار ارقام) می‌توان ساخت که عضو مجموعه‌ی جدید باشند؟
  الف) ۳     ب) ۹     ج) ۶     د) ۲۷


• ۷. اگر تعداد زیرمجموعه‌های A برابر ۳۲ و تعداد زیرمجموعه‌های B برابر ۱۶ باشد، تعداد اعضای A چند تا بیشتر از B است؟
  الف) ۱     ب) ۲     ج) ۱۶     د) ۴


• ۸. نمایش ریاضی مجموعه {۴, ۵, ۶, ...} کدام است؟
  الف) {x ∈ ℕ | x > ۳}
  ب) {x ∈ ℕ | x > ۴}
  ج) {x ∈ W | x ≥ 3}
  د) {x ∈ ℤ | x ≥ 5}


• ۹. کدام گزینه بیانگر مجموعه‌ی تهی نیست؟
  الف) اعداد طبیعی بین ۲ و ۳
  ب) اعداد اول زوج بزرگتر از ۵
  ج) اعداد فرد بخش‌پذیر بر ۲
  د) اعداد صحیح زوج


• ۱۰. اگر A={a, b} باشد، مجموعه تمامی زیرمجموعه‌های A چند عضو دارد؟
  الف) ۲     ب) ۴     ج) ۳     د) ۸