کافه ریاضی

درس سوم: اجتماع، اشتراک و تفاضل مجموعه‌ها

۱. درس‌نامه و مفاهیم اولیه

در این درس با سه عمل اصلی روی مجموعه‌ها آشنا می‌شویم که به ما کمک می‌کنند ارتباط بین دسته‌های مختلف اعداد یا اشیاء را بررسی کنیم.

۲. مثال‌های آموزشی (از ساده به سخت)

۳. نمونه سؤالات تشریحی حل‌شده (گام‌به‌گام)

سؤال ۱:

اگر A = {x ∈ ℤ | -۲ < x ≤ ۱} و B = {x ∈ ℕ | x < ۳} باشد، مجموعه‌های A ∪ B و A ∩ B را با اعضا بنویسید.
حل:
مرحله ۱ (نوشتن اعضا):
A = {-۱, ۰, ۱} (دقت کنید -۲ نیست چون مساوی ندارد، ۱ هست).
B = {۱, ۲} (اعداد طبیعی کمتر از ۳).
مرحله ۲ (اجتماع): { -۱, ۰, ۱, ۲ }.
مرحله ۳ (اشتراک): تنها عضو مشترک ۱ است. → {۱}.

سؤال ۲:

با توجه به نمودار ون، اگر A زیرمجموعه B باشد (A ⊆ B)، حاصل (A ∩ B) - A را ساده کنید.
حل:
چون A ⊆ B است، پس اشتراک آن‌ها برابر با مجموعه کوچکتر یعنی A می‌شود (A ∩ B = A).
حالا باید حاصل A - A را حساب کنیم.
هر مجموعه‌ای منهای خودش برابر تهی است.
پاسخ نهایی: ∅.

سؤال ۳:

اگر A = {۲, ۳, ۴, ۵} و B = {۴, ۵, ۶, ۷} باشد، آیا تساوی (A-B) ∪ (B-A) = (A ∪ B) - (A ∩ B) برقرار است؟ (بررسی کنید).
حل:
سمت چپ:
A-B = {۲, ۳}
B-A = {۶, ۷}
اجتماع این‌ها: {۲, ۳, ۶, ۷}.
سمت راست:
A ∪ B = {۲, ۳, ۴, ۵, ۶, ۷}
A ∩ B = {۴, ۵}
تفاضل (حذف ۴ و ۵ از اجتماع): {۲, ۳, ۶, ۷}.
پاسخ: بله، دو طرف برابر شدند.

سؤال ۴:

دو مجموعه A و B را طوری بنویسید که A ∩ B = {۲, ۳} و A - B = {۱} و B - A = {۴, ۵}.
حل:
مجموعه A باید شامل قسمت مشترک و قسمت اختصاصی خودش باشد: A = {۲, ۳, ۱}.
مجموعه B باید شامل قسمت مشترک و قسمت اختصاصی خودش باشد: B = {۲, ۳, ۴, ۵}.

سؤال ۵:

اگر U = {۱, ۲, ۳, ۴, ۵} (مجموعه مرجع) و A = {۱, ۲} باشد، مجموعه A' (متمم A یا همان U-A) را بنویسید.
حل:
مفهوم U-A یعنی عضوهایی که در مرجع هستند ولی در A نیستند.
حذف ۱ و ۲ از U.
پاسخ: {۳, ۴, ۵}.

سؤال ۶:

در یک کلاس ۳۰ نفره، ۱۵ نفر عضو تیم فوتبال و ۱۲ نفر عضو تیم والیبال هستند. اگر ۵ نفر عضو هر دو تیم باشند:
الف) چند نفر فقط فوتبال بازی می‌کنند؟
ب) چند نفر عضو هیچ تیمی نیستند؟
حل:
فرض کنیم F فوتبال و V والیبال باشد. n(F ∩ V) = ۵.
الف) فقط فوتبال (F - V): کل فوتبال (۱۵) منهای مشترک (۵) = ۱۰ نفر.
فقط والیبال (V - F): کل والیبال (۱۲) منهای مشترک (۵) = ۷ نفر.
ب) کل کسانی که ورزش می‌کنند (n(F ∪ V)): ۱۰ (فقط فوتبال) + ۷ (فقط والیبال) + ۵ (مشترک) = ۲۲ نفر.
کسانی که ورزش نمی‌کنند: کل کلاس (۳۰) منهای ورزشکاران (۲۲) = ۸ نفر.

سؤال ۷:

مجموعه C = {x | x ∈ ℕ, ۱۲/x ∈ ℕ} را با اعضا مشخص کنید.
حل:
عبارت ۱۲/x ∈ ℕ یعنی x باید شمارنده (مقسوم‌علیه) عدد ۱۲ باشد.
شمارنده‌های طبیعی ۱۲: ۱، ۲، ۳، ۴، ۶، ۱۲.
پاسخ: {۱, ۲, ۳, ۴, ۶, ۱۲}.

سؤال ۸:

اگر A مجموعه‌ی اعداد زوج طبیعی و B مجموعه‌ی اعداد فرد طبیعی باشد، A ∩ B و A - B چیست؟
حل:
هیچ عددی هم‌زمان هم زوج و هم فرد نیست. پس اشتراک تهی است (A ∩ B = ∅).
اگر از اعداد زوج، اعداد فرد را برداریم، هیچ‌چیز کم نمی‌شود چون اشتراکی ندارند. پس خود اعداد زوج باقی می‌مانند.
پاسخ: A ∩ B = ∅ و A - B = A.

سؤال ۹:

اگر A = {۱, {۱}} و B = {۱} باشد، A - B چند عضو دارد؟
حل:
اعضای A: عدد ۱ و مجموعه {۱}.
اعضای B: عدد ۱.
باید عدد ۱ را از A حذف کنیم. عضو باقی‌مانده {۱} است.
مجموعه حاصل: { {۱} }.
پاسخ: ۱ عضو دارد.

سؤال ۱۰:

حاصل عبارت (A ∪ ∅) ∩ (B ∪ B) را ساده کنید.
حل:
A ∪ ∅ = A (اجتماع هر مجموعه با تهی خودش است).
B ∪ B = B (اجتماع هر مجموعه با خودش خودش است).
پاسخ: A ∩ B.

۴. تمرین‌های دانش‌آموزی (بدون پاسخ)

• ۱. اگر A = {a, b, c, d} و B = {c, d, e, f} باشد، A ∪ B و A ∩ B را بنویسید.
• ۲. با توجه به سوال قبل، (A - B) ∪ (B - A) را به دست آورید.
• ۳. اگر A ⊆ B باشد، حاصل (A ∪ B) - A برابر با کدام مجموعه است؟ (A، B یا B-A)؟
• ۴. مجموعه‌ی اعداد طبیعی کمتر از ۱۰ را A و مجموعه‌ی اعداد اول یک‌رقمی را B می‌نامیم. نمودار ون آن‌ها را رسم کنید و اعضای A - B را مشخص کنید.
• ۵. اگر A بازه اعداد صحیح بین -۳ و ۳ (بدون خودشان) باشد و B = {۰, ۱, ۲, ۳, ۴}، اشتراک آن‌ها چند عضو دارد؟
• ۶. درستی رابطه A - B = A ∩ B' را با یک مثال بررسی کنید. (راهنمایی: B' یعنی متمم B).
• ۷. اگر اشتراک دو مجموعه A و B برابر با خود مجموعه A باشد، چه نتیجه‌ای در مورد رابطه این دو مجموعه می‌گیریم؟
• ۸. حاصل عبارت {۱, ۲, ۳} - {۲, ۳, ۴, ۵} را بنویسید.
• ۹. اگر A مجموعه مضارب ۳ و B مجموعه مضارب ۵ باشد، پنجمین عضو مجموعه A ∩ B چیست؟
• ۱۰. در یک کلاس، همه دانش‌آموزان یا عینک دارند یا ساعت (یا هر دو). اگر ۲۰ نفر عینک و ۱۵ نفر ساعت داشته باشند و کلاس ۳۰ نفر باشد، چند نفر هم ساعت و هم عینک دارند؟

۵. تست‌های چهارگزینه‌ای حل‌شده

۶. تست‌های تمرینی (بدون پاسخ برای دانش‌آموز)

• ۱. اگر A ⊆ B و B ⊆ C باشد، حاصل (A ∪ B) ∩ C کدام است؟
  الف) A     ب) B     ج) C     د) ∅


• ۲. حاصل عبارت {۱, ۲} - {۲, ۳, ۴} چند زیرمجموعه دارد؟
  الف) ۱     ب) ۲     ج) ۴     د) ۸


• ۳. اگر A ∩ B = A باشد، کدام رابطه حتماً درست است؟
  الف) B ⊆ A     ب) A ⊆ B     ج) A = B     د) A ∩ B = ∅


• ۴. اشتراک مجموعه اعداد اول و مجموعه اعداد مرکب کدام است؟
  الف) {۱}     ب) {۲}     ج) ∅     د) نامتناهی


• ۵. اگر A = {x | x^۲ = ۱} و B = {x | x^۳ = ۱} باشد، A - B کدام است؟
  الف) {-۱}     ب) {۱}     ج) ∅     د) {۰}


• ۶. کدام یک از گزینه‌های زیر با (A ∪ B)' برابر است؟ (قانون دمورگان)
  الف) A' ∪ B'     ب) A' ∩ B'     ج) A' - B'     د) A ∩ B


• ۷. اگر A - B = ∅، آنگاه:
  الف) A = ∅     ب) A ⊆ B     ج) B ⊆ A     د) A ∩ B = ∅


• ۸. در پرتاب یک تاس، اگر A مجموعه اعداد زوج و B مجموعه اعداد بزرگتر از ۲ باشد، A ∩ B کدام است؟
  الف) {۴, ۶}     ب) {۳, ۴, ۵, ۶}     ج) {۲, ۴, ۶}     د) {۶}


• ۹. اگر A = {۱, {۲, ۳}} و B = {۲, ۳} باشد، A ∩ B چیست؟
  الف) {۲, ۳}     ب) {{۲, ۳}}     ج) ∅     د) {۱}


• ۱۰. تعداد اعضای مجموعه (A ∪ B) ∪ (A ∩ B) برابر است با:
  الف) n(A) + n(B)
  ب) n(A ∪ B)
  ج) n(A ∩ B)
  د) n(A - B)