درس چهارم: مجموعهها و احتمال
۱. درسنامه و مفاهیم اولیه
در این درس یاد میگیریم که چگونه از زبان «مجموعهها» برای بیان شانس وقوع اتفاقات (احتمال) استفاده کنیم. احتمال یعنی اندازهگیری شانس رخ دادن یک اتفاق.
به مجموعهی تمام حالتهای ممکن که در یک آزمایش تصادفی میتواند رخ دهد، فضای نمونهای میگویند و آن را با حرف انگلیسی S نمایش میدهند.
تعداد اعضای فضای نمونهای را با n(S) نشان میدهیم.
به هر زیرمجموعه از فضای نمونهای S، یک پیشامد یا حادثه میگویند. معمولاً پیشامدها را با نامهایی مثل A، B و... نامگذاری میکنیم.
مثال: در پرتاب تاس، آمدن عدد زوج یک پیشامد است: A = {۲, ۴, ۶}.
اگر S فضای نمونهای و A یک پیشامد از آن باشد (یعنی A ⊆ S)، احتمال وقوع پیشامد A که با نماد P(A) نشان داده میشود، برابر است با:
۱. احتمال وقوع هر پیشامد، عددی بین صفر و یک است: ۰ ≤ P(A) ≤ ۱
۲. پیشامد حتمی: اگر احتمالی برابر ۱ شود، یعنی آن اتفاق قطعاً رخ میدهد (پیشامد برابر با S است).
۳. پیشامد غیرممکن: اگر احتمالی برابر ۰ شود، یعنی آن اتفاق هرگز رخ نمیدهد (پیشامد برابر با ∅ است).
۴. مجموع احتمال تمام حالتهای ممکن همیشه برابر ۱ است.
۲. مثالهای آموزشی (از ساده به سخت)
مثال ۱: در پرتاب یک سکه، فضای نمونهای (S) را بنویسید.
پاسخ: سکه یا «رو» میآید یا «پشت». S = {رو, پشت}. پس n(S) = ۲.
مثال ۲: در پرتاب یک تاس، احتمال اینکه عدد «۵» بیاید چقدر است؟
پاسخ: کل حالتها: S = {۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶} ← n(S) = ۶.
حالت مطلوب (آمدن ۵): A = {۵} ← n(A) = ۱.
احتمال: P(A) = ۱۶.
مثال ۳: در پرتاب یک تاس، احتمال اینکه عدد «زوج» بیاید چقدر است؟
پاسخ: حالتهای مطلوب: A = {۲, ۴, ۶} ← n(A) = ۳.
احتمال: P(A) = ۳۶ = ۱۲.
مثال ۴: گردونهای را که به ۴ قسمت رنگی مساوی (قرمز، آبی، سبز، زرد) تقسیم شده میچرخانیم. احتمال ایستادن روی رنگ «قرمز» چقدر است؟
پاسخ: n(S) = ۴ و n(A) = ۱. احتمال برابر است با ۱۴.
مثال ۵: در کیسهای ۳ مهره قرمز و ۲ مهره آبی داریم. اگر تصادفی یک مهره برداریم، احتمال آبی بودن آن چقدر است؟
پاسخ: کل مهرهها: ۳ + ۲ = ۵، پس n(S) = ۵.
مهرههای آبی: ۲ تا، پس n(A) = ۲.
احتمال: P(A) = ۲۵.
مثال ۶: مجموعهی M = {x ∈ ℕ | x ≤ ۱۰} را در نظر بگیرید. اگر یک عدد تصادفی انتخاب کنیم، احتمال اینکه «عدد اول» باشد چقدر است؟
پاسخ: فضای نمونه: S = {۱, ۲, ۳, ۴, ۵, ۶, ۷, ۸, ۹, ۱۰}، پس n(S) = ۱۰.
اعداد اول در این مجموعه: A = {۲, ۳, ۵, ۷}، پس n(A) = ۴.
احتمال: P(A) = ۴۱۰ = ۲۵.
مثال ۷: خانوادهای دارای ۲ فرزند است. احتمال اینکه هر دو فرزند دختر باشند چقدر است؟
پاسخ: فضای نمونه (پ=پسر، د=دختر): S = {(پ, پ), (پ, د), (د, پ), (د, د)}. پس n(S) = ۴.
حالت مطلوب: A = {(د, د)}، پس n(A) = ۱.
احتمال: ۱۴.
مثال ۸: در پرتاب تاس، احتمال اینکه عدد بزرگتر از ۶ بیاید چقدر است؟
پاسخ: در تاس عدد بزرگتر از ۶ نداریم. n(A) = ۰. پس احتمال برابر ۰ است (پیشامد غیرممکن).
مثال ۹: تاس را میاندازیم. احتمال آمدن عدد طبیعی چقدر است؟
پاسخ: تمام اعداد روی تاس (۱ تا ۶) طبیعی هستند. پس n(A) = ۶. احتمال ۶۶ = ۱ است (پیشامد حتمی).
مثال ۱۰: کلمهی «ریاضی» را روی کارتهایی نوشتهایم (هر حرف روی یک کارت: ر، ی، ا، ض، ی). احتمال انتخاب کارت با حرف «ی» چقدر است؟
پاسخ: کل حروف: ۵ تا. حروف «ی»: ۲ تا. احتمال: ۲۵.
۳. نمونه سؤالات تشریحی حلشده (گامبهگام)
سؤال ۱:
یک تاس و یک سکه را همزمان پرتاب میکنیم.
الف) تعداد اعضای فضای نمونهای (n(S)) را بیابید.
ب) احتمال اینکه تاس عدد زوج و سکه «رو» بیاید چقدر است؟
حل:
الف) تاس ۶ حالت دارد و سکه ۲ حالت. طبق اصل ضرب: n(S) = ۶ × ۲ = ۱۲.
ب) حالتهای مطلوب: A = {(۲, رو), (۴, رو), (۶, رو)}. تعداد ۳ تا.
احتمال: P(A) = ۳۱۲ = ۱۴.
سؤال ۲:
مجموعهی A = {۲, ۳, ۵, ۷, ۱۱, ۱۳} داده شده است. اگر یک عضو به تصادف انتخاب کنیم، احتمال اینکه آن عضو «زوج» باشد چقدر است؟
حل:
تعداد کل اعضا: n(S) = ۶.
اعضای زوج در مجموعه: فقط عدد ۲ است. پس n(B) = ۱.
پاسخ: P(B) = ۱۶.
سؤال ۳:
در یک جعبه ۵ مهره سبز، ۴ مهره سفید و ۳ مهره قرمز وجود دارد. یک مهره بیرون میآوریم. چقدر احتمال دارد این مهره «سبز نباشد»؟
حل:
تعداد کل: ۵ + ۴ + ۳ = ۱۲.
تعداد غیر سبزها (سفید + قرمز): ۴ + ۳ = ۷.
احتمال: ۷۱۲.
سؤال ۴:
دو تاس را پرتاب میکنیم. احتمال اینکه مجموع دو عدد رو شده برابر ۷ باشد را محاسبه کنید.
حل:
فضای نمونهای دو تاس: ۶ × ۶ = ۳۶ حالت.
حالتهایی که مجموع ۷ میشود: A = {(۱,۶), (۲,۵), (۳,۴), (۴,۳), (۵,۲), (۶,۱)}.
تعداد: ۶ تا. احتمال: P(A) = ۶۳۶ = ۱۶.
سؤال ۵:
اعداد ۱ تا ۲۰ را روی کارتهای یکسان نوشتهایم. یک کارت برمیداریم. احتمال اینکه عدد روی کارت مضرب ۴ باشد چقدر است؟
حل: n(S) = ۲۰.
مضارب ۴ تا ۲۰: A = {۴, ۸, ۱۲, ۱۶, ۲۰}.
تعداد ۵ تا. احتمال: P(A) = ۵۲۰ = ۱۴.
سؤال ۶:
خانوادهای ۳ فرزند دارد. چقدر احتمال دارد که این خانواده دقیقاً یک دختر داشته باشد؟
حل: کل حالتها (۲ × ۲ × ۲): n(S) = ۸.
حالتهای ۱ دختر: {(د, پ, پ), (پ, د, پ), (پ, پ, د)}. تعداد ۳ تا.
احتمال: ۳۸.
سؤال ۷:
در یک کلاس ۳۰ نفره، ۱۵ نفر عضو تیم فوتبال هستند. اگر مبصر کلاس به تصادف انتخاب شود، احتمال اینکه فوتبالیست باشد چقدر است؟ احتمال اینکه فوتبالیست نباشد چقدر است؟
حل:
احتمال فوتبالیست بودن: ۱۵۳۰ = ۱۲.
احتمال فوتبالیست نبودن: ۱ - ۱۲ = ۱۲.
سؤال ۸:
عقربهی چرخندهای که اعداد ۱ تا ۸ روی آن نوشته شده است را میچرخانیم. احتمال اینکه عقربه روی عدد «اولِ زوج» بایستد چقدر است؟
حل: n(S) = ۸.
اعداد اول: ۲، ۳، ۵، ۷. عدد اولِ زوج: فقط ۲.
احتمال: ۱۸.
سؤال ۹:
اگر A ⊆ S و n(S) = ۲۰ و P(A) = ۰/۴ باشد، تعداد اعضای مجموعه A چندتاست؟
حل: P(A) = n(A)۲۰ → ۰/۴ = n(A)۲۰.
n(A) = ۰/۴ × ۲۰ = ۸ عضو.
سؤال ۱۰:
در یک کیسه تعدادی مهره سیاه و سفید داریم. اگر احتمال درآمدن مهره سیاه ۳۱۰ باشد و تعداد مهرههای سفید ۱۴ تا باشد، کل مهرهها چندتاست؟
حل:
احتمال سفید: ۱ - ۳۱۰ = ۷۱۰.
نسبت سفیدها ۷۱۰ است. یعنی ۷ واحد برابر ۱۴ مهره است (هر واحد ۲ مهره).
کل: ۱۰ واحد × ۲ = ۲۰ مهره.
۴. تمرینهای دانشآموزی (بدون پاسخ)
- ۱. یک تاس را میاندازیم. احتمال اینکه عدد رو شده مضرب ۳ باشد چقدر است؟
- ۲. در پرتاب دو سکه، احتمال اینکه «حداقل یک سکه رو بیاید» را حساب کنید.
- ۳. کلمهی «IRAN» را در نظر بگیرید. اگر حروفی را به تصادف انتخاب کنیم، احتمال اینکه حرف صدادار (A یا I) باشد چقدر است؟
- ۴. مجموعهی A = {x ∈ ℤ | -۳ < x < ۳} مفروض است. اگر عددی انتخاب کنیم، احتمال اینکه مثبت باشد چقدر است؟
- ۵. در یک جعبه ۱۰ مهره آبی و قرمز وجود دارد. اگر احتمال انتخاب مهره قرمز ۲۵ باشد، چند مهره آبی در جعبه داریم؟
- ۶. دو تاس را میاندازیم. احتمال اینکه هر دو عدد مثل هم باشند (جفت باشند) چقدر است؟
- ۷. خانوادهای سه فرزند دارد. احتمال اینکه هر سه همجنس باشند (همه پسر یا همه دختر) چقدر است؟
- ۸. عددی طبیعی کوچکتر از ۲۵ انتخاب میکنیم. احتمال اینکه مجذور کامل باشد چقدر است؟
- ۹. چرخندهای شامل اعداد ۱ تا ۱۰ است. احتمال اینکه عدد انتخاب شده نه زوج باشد و نه بخشپذیر بر ۵، چقدر است؟
- ۱۰. احتمال بارش باران فردا ۴۰٪ است. احتمال اینکه فردا باران نبارد چقدر است؟
۵. تستهای چهارگزینهای حلشده
تست ۱: اگر یک تاس را پرتاب کنیم، احتمال اینکه عدد رو شده بزرگتر از ۲ باشد کدام است؟
الف) ۱۲ ب) ۲۳ ج) ۱۳ د) ۵۶
پاسخ تشریحی: اعداد بزرگتر از ۲: ۳، ۴، ۵، ۶ (۴ عدد). احتمال: ۴۶ = ۲۳. گزینه صحیح: ب
تست ۲: در پرتاب دو سکه با هم، احتمال اینکه یکی رو و دیگری پشت بیاید چقدر است؟
الف) ۱۴ ب) ۱۳ ج) ۱۲ د) ۱
پاسخ تشریحی: حالات مطلوب: (ر، پ) و (پ، ر). ۲ حالت از ۴ حالت. احتمال ۲۴ = ۱۲. گزینه صحیح: ج
تست ۳: کدام گزینه نمیتواند احتمال وقوع یک پیشامد باشد؟
الف) ۰/۰۱ ب) ۷۸ ج) ۱/۵ د) صفر
پاسخ تشریحی: احتمال باید بین ۰ و ۱ باشد. عدد ۱/۵ (یک و نیم) بزرگتر از ۱ است. گزینه صحیح: ج
تست ۴: در کیسهای ۵ مهره زرد و ۳ مهره سبز است. احتمال انتخاب مهره سبز چقدر است؟
الف) ۳۵ ب) ۳۸ ج) ۵۸ د) ۱۳
پاسخ تشریحی: کل مهرهها ۸ تا. سبز ۳ تا. احتمال ۳۸. گزینه صحیح: ب
تست ۵: خانوادهای دارای ۲ فرزند است. احتمال اینکه فرزند اول پسر باشد چقدر است؟
الف) ۱۴ ب) ۱۲ ج) ۳۴ د) ۱۳
پاسخ تشریحی: حالات: (پ،پ)، (پ،د)، (د،پ)، (د،د). در دو حالت اول فرزند اول پسر است. احتمال ۲۴ = ۱۲. گزینه صحیح: ب
تست ۶: تاس را میاندازیم. احتمال اینکه عدد رو شده هم زوج باشد و هم اول، چقدر است؟
الف) ۱۶ ب) ۱۳ ج) ۱۲ د) صفر
پاسخ تشریحی: تنها عدد زوج و اول عدد ۲ است. ۱ حالت از ۶ حالت. گزینه صحیح: الف
تست ۷: اگر احتمال وقوع یک پیشامد ۳۷ باشد، احتمال رخ ندادن آن چقدر است؟
الف) ۳۷ ب) ۷۳ ج) ۴۷ د) ۱
پاسخ تشریحی: ۱ - ۳۷ = ۴۷. گزینه صحیح: ج
تست ۸: دو تاس میاندازیم. تعداد اعضای فضای نمونهای و تعداد حالاتی که مجموع ۵ شود به ترتیب کدامند؟
الف) ۳۶ و ۲ ب) ۱۲ و ۴ ج) ۳۶ و ۴ د) ۱۲ و ۲
پاسخ تشریحی: کل ۳۶. مجموع ۵: (۱,۴)، (۴,۱)، (۲,۳)، (۳,۲) که ۴ حالت است. گزینه صحیح: ج
تست ۹: مجموعهی S = {۱, ۲, ..., ۹} مفروض است. احتمال انتخاب عدد مربع کامل کدام است؟
الف) ۲۹ ب) ۳۹ ج) ۱۳ د) ب و ج
پاسخ تشریحی: مربعهای کامل: ۱، ۴، ۹ (۳ عدد). احتمال ۳۹ یا همان ۱۳. گزینه صحیح: د
تست ۱۰: احتمال اینکه روز تولد یک نفر «جمعه» باشد چقدر است؟
الف) ۱۳۰ ب) ۱۷ ج) ۱۱۲ د) ۱۳۶۵
پاسخ تشریحی: هفته ۷ روز دارد. شانس هر روز ۱۷ است. گزینه صحیح: ب
۶. تستهای تمرینی (بدون پاسخ برای دانشآموز)
- ۱. در پرتاب یک تاس، احتمال آمدن عدد مرکب (غیر اول و غیر یک) چقدر است؟
الف) ۱۲ ب) ۱۳ ج) ۲۳ د) ۱۶ - ۲. در یک جعبه ۳ مهره سفید و x مهره سیاه داریم. اگر احتمال درآمدن مهره سفید ۱۴ باشد، تعداد مهرههای سیاه چندتاست؟
الف) ۳ ب) ۶ ج) ۹ د) ۱۲ - ۳. خانوادهای دارای ۳ فرزند است. احتمال اینکه فقط فرزند وسط دختر باشد کدام است؟
الف) ۱۸ ب) ۱۴ ج) ۳۸ د) ۱۲ - ۴. اگر A پیشامد غیرممکن باشد، P(A) برابر است با:
الف) ۱ ب) ∅ ج) ۰ د) تعریف نشده - ۵. کارتی را تصادفی از بین کارتهای شماره ۱ تا ۱۰ میکشیم. احتمال اینکه شماره کارت زوج یا مضرب ۵ باشد چقدر است؟
الف) ۶۱۰ ب) ۷۱۰ ج) ۵۱۰ د) ۸۱۰ - ۶. دو تاس را پرتاب میکنیم. احتمال اینکه حاصلضرب دو عدد ۱۲ شود چقدر است؟
الف) ۱۹ ب) ۱۶ ج) ۱۱۲ د) ۵۳۶ - ۷. احتمال انتخاب یک مهره قرمز از کیسهای برابر ۰/۴ است. اگر ۸ مهره قرمز در کیسه باشد، کل مهرهها چند تاست؟
الف) ۱۲ ب) ۲۰ ج) ۱۶ د) ۳۲ - ۸. اگر S={a, b, c, d} و شانس انتخاب همه یکسان باشد، احتمال انتخاب حرف b کدام است؟
الف) ۲۵٪ ب) ۵۰٪ ج) ۲۰٪ د) ۱۰۰٪ - ۹. کدام گزینه احتمال یک پیشامد حتمی است؟
الف) ۱۰۰٪ ب) ۱ ج) ۱۰۱۰ د) همه موارد - ۱۰. در پرتاب دو سکه و یک تاس، تعداد کل حالات فضای نمونهای چند است؟
الف) ۸ ب) ۱۲ ج) ۲۴ د) ۱۰