درس اول: عددهای گویا
۰. یادآوری: مجموعههای اعداد (پیشنیاز)
پیش از شروع مبحث اصلی، یادآوری مجموعههای اعدادی که در سالهای هفتم و هشتم خواندهایم، ضروری است. جدول زیر این مجموعهها را نشان میدهد:
| نام مجموعه | نماد ریاضی | توصیف | اعضای مجموعه |
|---|---|---|---|
| اعداد طبیعی | ℕ | اعداد شمارشی | {۱, ۲, ۳, ...} |
| اعداد حسابی | W | طبیعیها به اضافه صفر | {۰, ۱, ۲, ۳, ...} |
| اعداد صحیح | ℤ | مثبت، منفی و صفر | {..., -۲, -۱, ۰, ۱, ۲, ...} |
۱. درسنامه و مفاهیم اصلی: عددهای گویا
هر عددی که بتوان آن را به صورت کسر ab نوشت، به شرطی که:
۱. a و b عدد صحیح باشند (∈ ℤ).
۲. مخرج مخالف صفر باشد (b ≠ ۰).
مجموعه عددهای گویا را با حرف ℚ نمایش میدهیم.
- ۱. جامعیت: هر عدد طبیعی، حسابی یا صحیح، یک عدد گویا است (چون میتوان به آنها مخرج ۱ داد).
ℕ ⊆ W ⊆ ℤ ⊆ ℚ - ۲. علامت کسر: در عددهای منفی، جای علامت منفی مهم نیست و هر سه حالت زیر با هم برابرند:
-ab = -ab = a-b - ۳. چگالی اعداد گویا: بین هر دو عدد گویا، بیشمار عدد گویای دیگر وجود دارد.
- ۱. هممخرج کردن: مخرجها را یکسان میکنیم. در اعداد مثبت، کسری بزرگتر است که صورتش بزرگتر باشد. در اعداد منفی برعکس است.
- ۲. تبدیل به اعشار: صورت را بر مخرج تقسیم کرده و اعداد اعشاری حاصل را مقایسه میکنیم.
- ۳. محور اعداد: هر عددی که روی محور در سمت راست قرار داشته باشد، بزرگتر است.
۱. روش میانگین: x + y۲ (جمع دو عدد تقسیم بر ۲)
۲. روش هممخرج کردن: مخرجها را یکی میکنیم و صورت و مخرج را در عددی (مثلاً n+۱) ضرب میکنیم تا فاصله ایجاد شود.
اگر صورت کسر را بر مخرج (بعد از ساده کردن) تقسیم کنیم، دو حالت پیش میآید:
۱. مختوم (پایانپذیر): باقیمانده صفر میشود. (شرط: در تجزیه مخرج فقط عاملهای ۲ و ۵ باشند). مثال: ۱۲ = ۰/۵
۲. متناوب (تکرار شونده): باقیمانده صفر نمیشود. (شرط: در تجزیه مخرج عاملی غیر از ۲ و ۵ باشد). مثال: ۱۳ = ۰/۳۳۳...
۲. مثالهای آموزشی (از ساده به دشوار)
مثال ۱: کدامیک از اعداد زیر گویا هستند؟ √۹ ، ۰ ، -۵۰ ، -۲/۴
توضیح: √۹ = ۳ = ۳۱ (گویاست). ۰ = ۰۱ (گویاست). -۵۰ (تعریف نشده). -۲/۴ = -۲۴۱۰ (گویاست).
مثال ۲: عدد صحیح ۵- را به صورت عدد گویا بنویسید.
توضیح: -۵۱.
مثال ۳: علامت منفی در کسر ۳-۴ را به دو صورت دیگر بنویسید.
توضیح: -۳۴ یا -۳۴.
مثال ۴: قرینه معکوس عدد -۲۱۳ را بیابید.
توضیح: ابتدا تبدیل به کسر: -۷۳. معکوس: -۳۷. قرینه: +۳۷.
مثال ۵: بین ۱۳ و ۱۲ یک عدد به روش میانگین پیدا کنید.
توضیح: (۱۳ + ۱۲) ÷ ۲ = ۵۶ × ۱۲ = ۵۱۲.
مثال ۶: بین ۱۴ و ۱۵ سه عدد گویا پیدا کنید.
توضیح: مخرج مشترک ۲۰. ضرب در ۴. اعداد: ۱۷۸۰, ۱۸۸۰, ۱۹۸۰.
مثال ۷: نمایش اعشاری ۳۴ مختوم است یا متناوب؟
توضیح: مخرج ۴ (۲×۲) فقط عامل ۲ دارد ← مختوم.
مثال ۸: حاصل ۱ - ۱۲۱ + ۱۲ را حساب کنید.
توضیح: صورت ۰/۵، مخرج ۱/۵. حاصل ۱۳.
مثال ۹: عدد ۰/۶̅ چه نوع عددی است؟
توضیح: اعشاری متناوب است که برابر ۲۳ میباشد، پس گویاست.
مثال ۱۰: آیا √۵ گویا است؟
توضیح: خیر، جذر کامل ندارد (عدد گنگ).
۳. نمونه سؤالات تشریحی حلشده (گامبهگام)
سؤال ۱:
درستی یا نادرستی عبارت: «هر عدد گویا یک عدد صحیح است.»
حل: نادرست. اعداد گویا شامل کسرها هستند که صحیح نیستند (مثل ۰/۵).
سؤال ۲:
مجموعهی A = { ۲k۳ | k ∈ ℤ, -۲ ≤ k < ۲ } را بنویسید.
حل: k ∈ {-۲, -۱, ۰, ۱}.
پاسخ: { -۴۳, -۲۳, ۰, ۲۳ }.
سؤال ۳:
نوع نمایش اعشاری ۷۲۵ را تعیین کنید.
حل: مخرج ۲۵ (۵×۵) فقط عامل ۵ دارد ← مختوم.
سؤال ۴:
حاصل -۱۱۲ ÷ (-۲۳ + ۰/۵) را بیابید.
حل:
پرانتز: -۲۳ + ۱۲ = -۱۶.
تقسیم: -۳۲ × (-۶۱) = ۹.
سؤال ۵:
بین ۳۵ و ۴۵ پنج عدد گویا بنویسید.
حل: ضرب در ۶ ← ۱۸۳۰ و ۲۴۳۰.
اعداد: ۱۹۳۰, ۲۰۳۰, ۲۱۳۰, ۲۲۳۰, ۲۳۳۰.
سؤال ۶:
عدد گویای متناظر با نقطه A (یک سومِ راه بعد از ۱- به چپ) چیست؟
حل: -۱۱۳ = -۴۳.
سؤال ۷:
حاصل ۱ - ۱۳۱ + ۱۳ را بیابید.
حل: صورت ۲۳، مخرج ۴۳. حاصل: ۱۲.
سؤال ۸:
آیا حاصلضرب دو عدد گویا، همواره گویاست؟
حل: بله. ab × cd = acbd (صورت و مخرج صحیح میمانند).
سؤال ۹:
کسر ۶۱۴ مختوم است یا متناوب؟
حل: ابتدا ساده کنید: ۳۷. مخرج ۷ است ← متناوب.
سؤال ۱۰:
مقادیر صحیح x را بیابید اگر x-۱۵ گویای مثبت و کوچکتر از ۱ باشد.
حل: ۰ < x-۱۵ < ۱ ⇒ ۰ < x-۱ < ۵ ⇒ ۱ < x < ۶.
پاسخ: {۲, ۳, ۴, ۵}.
۴. تمرینهای کلاسی (بدون پاسخ)
- ۱. جاهای خالی را پر کنید: «مجموعه ℚ زیرمجموعه مجموعه ................. نیست.»
- ۲. کسر -۱۸۳۰ را ساده کنید و روی محور نشان دهید.
- ۳. بین ۱- و ۰ چهار عدد گویا بنویسید.
- ۴. کدام کسر مختوم است؟ (الف: ۵۶، ب: ۷۲۰، ج: ۴۱۵، د: ۳۹)
- ۵. حاصل ۱۲ - ۱۳ × ۶۵ را بیابید.
- ۶. مجموعه B = { x ∈ ℚ | x۲ ∈ ℕ, x < ۱۰ } را با اعضا بنویسید.
- ۷. قرینه عدد ۱-۳۴ را حساب کنید.
- ۸. آیا هر عدد طبیعی یک عدد گویا است؟ چرا؟
- ۹. حاصل ۲ - ۱۲۳ + ۱۴ را بیابید.
- ۱۰. اعداد ۲۳، ۴۵ و ۳۴ را مرتب کنید.
۵. تستهای چهارگزینهای حلشده
تست ۱: کدام گزینه صحیح است؟
تحلیل: طبیعی زیرمجموعه گویاست. (پاسخ: ج)
تست ۲: تعداد اعداد گویای بین ۱۱۰ و ۱۵:
تحلیل: خاصیت چگالی. (پاسخ: د)
تست ۳: کسر ۳۲۴ چه نوع نمایشی دارد؟
تحلیل: ساده شده: ۱۸. مخرج ۲۳ (فقط ۲) ← مختوم. (پاسخ: الف)
تست ۴: حاصل ۱۱-۱۲:
تحلیل: ۱ ÷ ۰/۵ = ۲. (پاسخ: ب)
تست ۵: کدام عدد گویا نیست؟
تحلیل: π عدد گنگ است. (پاسخ: ج)
تست ۶: معکوس عدد -۲۲۳:
تحلیل: عدد -۸۳ است. معکوس ← -۳۸. (پاسخ: ب)
تست ۷: اعضای A = \{ xx+۱ | x ∈ ℕ, x ≤ ۲ \}:
تحلیل: جایگذاری ۱ و ۲. (پاسخ: الف)
تست ۸: کدام کسر بین ۲۳ و ۵۶ است؟
تحلیل: مخرج ۱۲ ← بین ۸۱۲ و ۱۰۱۲ ← ۹۱۲=۳۴. (پاسخ: الف)
تست ۹: حاصل -۲۳ × -۹۴ ÷ (-۳):
تحلیل: ۳۲ ÷ (-۳) = -۱۲. (پاسخ: الف)
تست ۱۰: کوچکترین عدد:
تحلیل: -۳۲=۱/۵- (از همه کوچکتر). (پاسخ: ج)
۶. تستهای تمرینی (بدون پاسخ)
۱. کدام عبارت نادرست است؟
۲. عدد ۷۸ برابر است با:
۳. بین -۱۲ و -۱۳ چند عدد صحیح است؟
۴. حاصل ۱ - ۱۲ × ۲۳:
۵. اگر a مضرب b باشد، ab حتماً ... است.
۶. کدام کسر متناوب است؟
۷. قرینه معکوس ۰/۲:
۸. -۵۳ بین کدام دو عدد است؟
۹. حاصل ۲۳ + ۱۳۱۲:
۱۰. تعداد اعضای {x ∈ ℤ | -۱ < x < ۱}: