کافه ریاضی

درس دوم: عددهای حقیقی

۱. درس‌نامه و مفاهیم اصلی

۲. مثال‌های آموزشی (از ساده به دشوار)

۳. نمونه سؤالات تشریحی حل‌شده

سؤال ۱:

عبارت‌ها را با ∈ یا ∉ کامل کنید.
الف) √۱۲ ... ℚ     ب) π ... ℝ     ج) ۰ ... Q'
حل: الف) ∉ (گنگ است). ب) ∈ (حقیقی است). ج) ∉ (صفر گویاست).

سؤال ۲:

مجموعه A = {x ∈ ℝ | -۱ < x ≤ ۲} را روی محور نمایش دهید.
حل: دایره توخالی روی ۱-، دایره توپر روی ۲، و خط بین آن‌ها پررنگ می‌شود.

سؤال ۳:

حاصل (ℤ ∪ ℚ) ∩ ℕ را بیابید.
حل: پرانتز می‌شود ℚ. اشتراک ℚ با ℕ می‌شود خود ℕ.

سؤال ۴:

مقدار تقریبی √۱۸ با یک رقم اعشار.
حل: بین ۴ و ۵ است، نزدیک به ۴. حدس: ۴/۲. (۴/۲^۲ = ۱۷/۶۴). پاسخ: ۴/۲.

سؤال ۵:

اگر شعاع دایره ۲ باشد، محیط آن گویاست یا گنگ؟
حل: P = ۲πr = ۴π. چون π گنگ است، حاصل گنگ است.

سؤال ۶:

جای خالی: «بین هر دو عدد گویا، بی‌شمار عدد ............... وجود دارد.»
حل: هم گویا و هم گنگ.

سؤال ۷:

نمایش -√۲ روی محور.
حل: مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع ۱ و ۱ روی صفر. کمان به سمت چپ (منفی).

سؤال ۸:

ساده کنید: |۱ - √۲| + |√۲ - √۳|
حل: اولی منفی (-۱+√۲)، دومی منفی (-√۲+√۳). جمع: -۱ + √۳.

سؤال ۹:

اشتراک اعداد گویا و گنگ چیست؟
حل: ∅ (تهی).

سؤال ۱۰:

بین ۳ و ۴، چهار عدد گنگ بنویسید.
حل: √۱۰, √۱۱, √۱۳, √۱۵.

۴. تمرین‌های کلاسی (بدون پاسخ)

• ۱. کدام‌یک گنگ است؟ A=√۰/۰۴, B=√۲۰, C=۳/۱۴, D=√۵/√۵
• ۲. عدد ۲ + √۳ را روی محور نمایش دهید.
• ۳. حاصل |π - ۳| + |۳ - π| را بیابید.
• ۴. کدام درست است؟ (الف: ℤ ⊆ Q'، ب: ℝ ⊆ ℚ، ج: ℚ ∩ Q' = ℝ، د: ℕ ⊆ ℝ)
• ۵. بین ۵ و ۶، سه عدد گنگ مثال بزنید.
• ۶. مجموعه M = {x ∈ ℝ | x^۲ = ۵} را با اعضا بنویسید.
• ۷. آیا √۲ × √۸ گویا است؟
• ۸. تساوی ℚ ∪ Q' = ... را کامل کنید.
• ۹. فاصله بین ۲ و ۳ روی محور شامل چند نقطه است؟
• ۱۰. اگر x گنگ باشد، آیا x^۲ همواره گویاست؟

۵. تست‌های چهارگزینه‌ای حل‌شده

۶. تست‌های تمرینی (بدون پاسخ)